Reunindo fatores da mesma base

\(2^3\times2^4=(2\times2\times2)(2\times2\times2\times2)=2^7\)

Há sete fatores 2. Por isso:

\(a^m a^n=a^{m+n}\)

A base precisa ser a mesma. \(2^3\times3^4\) não permite somar expoentes.

Dividir cancela fatores

Para \(a\ne0\) e \(m\ge n\):

\(\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\)

\(a^5/a^2\) cancela dois fatores e deixa \(a^3\). Quando \(m<n\), surgem expoentes negativos:

\(a^{-2}=\frac1{a^2}\)

Expoente negativo não torna a base negativa; registra o inverso de uma potência.

Potência de potência

\((a^m)^n\) repete um bloco de \(m\) fatores por \(n\) vezes. Há \(mn\) fatores:

$$(a^m)^n=a$</p>&#10;<p>Isso difere de multiplicar pot&#234;ncias, onde somamos os expoentes.</p>&#10;<h2>Pot&#234;ncia de produto e quociente</h2>&#10;<p><span class="math">\((ab)^n=a^n b^n\)</span>, pois cada bloco cont&#233;m um fator <span class="math">\(a\)</span> e um <span class="math">\(b\)</span>. Para <span class="math">\(b\ne0\)</span>, <span class="math">\((a/b)^n=a^n/b^n\)</span>.</p>&#10;<h2>A armadilha da soma</h2>&#10;<p>Em geral, <span class="math">\((a+b)^2\ne a^2+b^2\)</span>. Pela distributiva:</p>&#10;<p>$(a+b)^2=a2+2ab+b^2$$

Com 2 e 3: \(5^2=25\), enquanto \(2^2+3^2=13\).

Expoentes fracionários como ponte

\(a^{1/2}\) é definido, em condições apropriadas nos reais, como \(\sqrt a\). Assim \((a^{1/2})^2=a\). Expoentes racionais conectam potências e raízes, mas domínios e sinais exigem cuidado.

Simplificar não é calcular cegamente

\(x^3x^5=x^8\) para qualquer \(x\). Já \(x^5/x^3=x^2\) pressupõe \(x\ne0\), pois a expressão original divide por \(x^3\).

Lista de exercícios

1. Simplifique \(3^4\times3^5\).
2. Simplifique \(x^9/x^4\) e declare a restrição.
3. Simplifique \((2^3)^4\).
4. Reescreva \(5^{-3}\) sem expoente negativo.
5. Expanda \((x+2)^2\) corretamente.
6. Simplifique \((3ab^2)^2\).

Gabarito comentado

1. \(3^9\).
2. \(x^5\), com \(x\ne0\) na expressão original.
3. \(2^{12}\).
4. \(1/5^3=1/125\).
5. \(x^2+4x+4\).
6. \(9a^2b^4\).