Um quadrado ocupa 49 metros quadrados

Qual é o lado? Procuramos o comprimento não negativo cujo quadrado vale 49:

\(\sqrt{49}=7\)

A raiz quadrada principal de \(a\ge0\) é o número não negativo cujo quadrado é \(a\).

Raiz e equação não são a mesma pergunta

\(\sqrt{49}\) é 7. Já \(x^2=49\) possui duas soluções reais: \(x=7\) e \(x=-7\). O símbolo radical escolhe a raiz principal; a equação procura todos os valores permitidos.

Estimar raízes

Como \(5^2=25\) e \(6^2=36\), \(\sqrt{30}\) está entre 5 e 6. Testando 5,5: \(5,5^2=30,25\), então a raiz está um pouco abaixo de 5,5.

Essa aproximação preserva significado, diferente de apenas apertar uma tecla.

Raízes exatas e irracionais

\(\sqrt{36}=6\) é inteiro. \(\sqrt2\) não pode ser escrito como razão exata de inteiros; é irracional. Seu decimal continua sem terminar nem repetir um bloco periódico.

Um argumento clássico supõe \(\sqrt2=p/q\) em forma irredutível e conclui que p e q teriam de ser ambos pares, contradizendo a forma escolhida. A ideia mostrou que razões de inteiros não ocupavam toda a reta.

História e cautela

Grandezas incomensuráveis foram estudadas na matemática grega e aparecem organizadas nos Elementos de Euclides. Relatos posteriores associam a descoberta à tradição pitagórica e contam histórias dramáticas, mas detalhes pessoais dessas lendas não possuem segurança documental.

Simplificar raízes

\(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt2\). Retiramos fatores que são quadrados perfeitos.

Mas \(\sqrt{a+b}\) não é geralmente \(\sqrt a+\sqrt b\): \(\sqrt{9+16}=5\), enquanto 3+4=7.

Distância e Pitágoras

Num triângulo retângulo com catetos 3 e 4, a hipotenusa satisfaz \(h^2=3^2+4^2=25\), logo \(h=5\). Raízes transformam áreas quadradas em comprimentos.

Domínio real

Não existe número real cujo quadrado seja −1. Ampliar essa pergunta levará aos números complexos; dizer apenas “não existe” depende do conjunto numérico considerado.

Lista de exercícios

1. Calcule \(\sqrt{121}\) e resolva \(x^2=121\).
2. Entre quais inteiros está \(\sqrt{70}\)?
3. Simplifique \(\sqrt{50}\).
4. Mostre com números que \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b\) em geral.
5. Um quadrado tem área 200 m². Escreva o lado de forma simplificada.
6. Um triângulo retângulo tem catetos 5 e 12. Encontre a hipotenusa.

Gabarito comentado

1. 11; a equação possui \(x=\pm11\).
2. Entre 8 e 9, pois 64<70<81.
3. \(\sqrt{25\times2}=5\sqrt2\).
4. Por exemplo, \(\sqrt{9+16}=5\), mas \(3+4=7\).
5. \(\sqrt{200}=\sqrt{100\times2}=10\sqrt2\) m.
6. \(h=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\).