Dobrar, dobrar novamente, dobrar outra vez

Se uma quantidade idealizada duplica a cada etapa, após quatro duplicações o fator acumulado é:

\(2\times2\times2\times2=2^4=16\)

Uma potência registra uma multiplicação de fatores iguais. Em \(2^4\), 2 é a base e 4 é o expoente, a quantidade de fatores.

Não é multiplicar base por expoente

\(3^4=3\times3\times3\times3=81\), enquanto \(3\times4=12\). O expoente descreve repetição multiplicativa, não uma soma repetida.

Quadrados e cubos guardam geometria

\(5^2\) é a área de um quadrado de lado 5: 25 unidades quadradas. \(5^3\) é o volume de um cubo de aresta 5: 125 unidades cúbicas.

Os nomes “ao quadrado” e “ao cubo” não são apelidos arbitrários; registram dimensões.

Crescimento aditivo e multiplicativo

Somar 5 a cada etapa produz 5, 10, 15, 20. Multiplicar por 2 produz 1, 2, 4, 8, 16. O segundo crescimento começa devagar e depois acelera porque o aumento também cresce.

Juros compostos, populações em modelos simples e propagação podem apresentar crescimento multiplicativo, mas recursos e condições reais limitam a continuação indefinida.

Expoentes 1 e 0

\(a^1=a\). Para compreender \(a^0\), observe a divisão, com \(a\ne0\):

\(\frac{a^3}{a^3}=1\)

Pela subtração dos expoentes, a mesma expressão é \(a^{3-3}=a^0\). Definir \(a^0=1\) preserva a coerência das propriedades.

\(0^0\) exige contexto e não recebe automaticamente essa justificativa, pois a divisão usada envolveria zero.

Base negativa e parênteses

\((-2)^4=16\) porque há quatro fatores negativos. \((-2)^3=-8\). Já \(-2^4=-(2^4)=-16\): sem parênteses, o sinal externo não pertence à base.

Potências de frações

\((1/2)^3=1/8\). Repetir um fator entre zero e um reduz a magnitude. Potenciação nem sempre aumenta.

Ordem das operações

Em \(3+2^3\times4\), calculamos potência, depois multiplicação, depois adição: \(3+8\times4=35\). Parênteses podem mudar a estrutura.

Lista de exercícios

1. Desenvolva e calcule \(4^3\).
2. Compare \(2^6\) e \(6^2\).
3. Um cubo tem aresta 6 cm. Escreva e calcule o volume.
4. Calcule \((-3)^2\), \((-3)^3\) e \(-3^2\).
5. Explique por que \(5^0=1\) usando divisão.
6. Calcule \((1/3)^3\) e interprete o efeito.

Gabarito comentado

1. \(4\times4\times4=64\).
2. \(2^6=64>36=6^2\).
3. \(6^3=216\) cm³.
4. 9, −27 e −9.
5. \(5^3/5^3=1\) e também \(5^{3-3}=5^0\).
6. \(1/27\); repetir um fator menor que um reduz o valor.