Duas frases quase iguais

“O dobro de um número mais três” pode representar \(2n+3\). Já “o dobro da soma de um número com três” é:

\(2(n+3)\)

Para \(n=4\), a primeira vale 11 e a segunda 14. Parênteses registram qual transformação acontece primeiro.

Comece nomeando a quantidade

Uma expressão responsável declara a variável. Se cada caderno custa 8 reais e a entrega custa 5, seja \(c\) a quantidade de cadernos:

\(8c+5\)

A unidade ajuda a conferir: \(8\) reais/caderno vezes \(c\) cadernos produz reais; somamos outros 5 reais.

Operações inversas mudam a ordem da frase

“Cinco menos que um número” é \(n-5\), não \(5-n\). Experimente \(n=12\): cinco menos que doze é sete.

“A diferença entre \(a\) e \(b\)” precisa de ordem ou contexto, pois \(a-b\) e \(b-a\) podem diferir.

Quocientes e agrupamentos

“A metade da soma de \(x\) e 6” é \((x+6)/2\). Sem parênteses, \(x+6/2\) divide apenas o 6.

“A razão entre o sucessor de \(n\) e 4” é \((n+1)/4\).

Expressão, equação e fórmula

\(3x+2\) é expressão: descreve um cálculo. \(3x+2=20\) é equação: pergunta quais valores tornam a igualdade verdadeira. \(A=bh/2\) é uma fórmula que relaciona grandezas.

Confundir esses objetos leva a tentar “resolver” uma expressão que não faz pergunta alguma.

Testar valores verifica a tradução

Para “três reais por item mais dez fixos”, a expressão \(3q+10\) deve valer 10 quando \(q=0\) e aumentar 3 a cada item. Testar casos simples revela inversões e parênteses ausentes.

Simplificar sem perder a história

\(5x+2x=7x\) reúne termos semelhantes. \(5x+2\) não pode ser somado porque representa cinco cópias da quantidade \(x\) e duas unidades simples.

\(3(x+4)\) pode ser escrito \(3x+12\) pela distributiva. As expressões são equivalentes e produzem o mesmo valor para todo \(x\).

Modelos possuem limites

\(8c+5\) presume preço unitário constante e uma única entrega. Descontos, impostos ou limite de estoque exigiriam outro modelo. Traduzir matemática é escolher o que a situação considera.

Lista de exercícios

1. Escreva “o triplo de um número menos sete”.
2. Escreva “a terça parte da diferença entre \(x\) e 5”.
3. Uma academia cobra 60 reais fixos e 12 por aula. Modele o custo de \(a\) aulas e avalie para 8.
4. Diferencie \(4x+1\) de \(4(x+1)\) usando \(x=2\).
5. Simplifique \(3y+8+5y-2\).
6. Classifique \(2n+7\), \(2n+7=19\) e \(P=4l\).

Gabarito comentado

1. \(3x-7\).
2. \((x-5)/3\).
3. \(C=60+12a\); para 8 aulas, \(C=156\) reais.
4. Valem 9 e 12. No segundo caso, o fator 4 alcança toda a soma.
5. \(8y+6\).
6. Expressão, equação e fórmula, respectivamente.