Sete vezes treze sem algoritmo longo

Separar 13 em 10+3 não altera o número:

\(7\times13=7(10+3)=7\times10+7\times3=91\)

Imagine um retângulo de altura 7 dividido em larguras 10 e 3. A área inteira é a soma das áreas das partes.

A propriedade geral

\(a(b+c)=ab+ac\)

O fator \(a\) multiplica cada termo porque todas as regiões possuem essa dimensão comum. Esquecer um termo deixa uma parte sem contar.

Para subtração, vale igualmente:

\(a(b-c)=ab-ac\)

Sinais exigem significado

\(-3(x-2)\) distribui o fator −3:

\(-3x+6\)

O segundo termo é positivo porque \((-3)(-2)=6\). Manter o termo como produto antes de simplificar reduz erros.

O caminho inverso: fatorar

\(6x+12\) possui fator 6 comum:

\(6x+12=6(x+2)\)

Expandir separa; fatorar reúne. Podemos verificar voltando pela distributiva.

Em \(15x-10\), o fator comum 5 produz \(5(3x-2)\).

Por que \((a+b)^2\) não distribui o expoente?

\((a+b)^2=(a+b)(a+b)\). Distribuindo duas vezes:

\(a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\)

O termo \(2ab\) registra os dois retângulos mistos. Por isso \((a+b)^2\ne a^2+b^2\) em geral.

Divisão e frações

Quando todos os termos do numerador compartilham o divisor:

\(\frac{6x+12}{6}=x+2\)

Mas em \((x+6)/x\) não podemos cancelar o \(x\) apenas com um termo. Cancelamento opera sobre fatores do numerador inteiro, não pedaços de uma soma.

Cálculo mental e álgebra

\(99\times37=(100-1)37=3\,700-37=3\,663\). A mesma propriedade que simplifica expressões torna contas numéricas flexíveis.

Equações

\(3(x+2)=21\) pode ser resolvida dividindo ambos os lados por 3 e depois subtraindo 2, ou expandindo para \(3x+6=21\). Os caminhos equivalentes permitem escolher a estrutura mais simples.

Lista de exercícios

1. Expanda \(5(x+7)\) e \(-2(y-4)\).
2. Calcule \(18\times23\) pela distributiva.
3. Fatore \(12x+18\) pelo maior fator comum inteiro.
4. Expanda \((x+3)^2\).
5. Simplifique \((8x+20)/4\).
6. Identifique o erro em \(4(a+2)=4a+2\).
7. Resolva \(5(x-1)=35\) por dois caminhos.

Gabarito comentado

1. \(5x+35\) e \(-2y+8\).
2. \(18(20+3)=360+54=414\).
3. \(6(2x+3)\).
4. \(x^2+6x+9\).
5. \(2x+5\).
6. O fator 4 precisa multiplicar os dois termos; o correto é \(4a+8\).
7. Dividindo primeiro: \(x-1=7\), \(x=8\). Expandindo: \(5x-5=35\), \(5x=40\), \(x=8\).