Uma caixa fechada

Pensei num número, somei 4 e obtive 11. Podemos desenhar uma caixa:

\(\square+4=11\)

Trocar a caixa por \(x\) não torna a pergunta mais difícil. A letra apenas nomeia o valor desconhecido:

\(x+4=11\)

Aqui \(x\) é uma incógnita e procuramos um valor específico.

Quando a letra pode variar

Uma corrida custa 5 reais de partida mais 2 reais por quilômetro. Para uma distância \(q\):

\(C=5+2q\)

\(q\) pode assumir vários valores e \(C\) muda junto. Elas são variáveis relacionadas.

q (km)	C (R$)
0	5
1	7
4	13

A expressão preserva toda a tabela numa regra compacta.

A letra guarda significado e unidade

Se \(q\) mede quilômetros, não podemos tratá-la como objeto sem contexto. Em \(A=l^2\), \(l\) representa comprimento e \(A\) representa área. A unidade também muda: se \(l\) está em metros, \(A\) está em metros quadrados.

Constante, variável e parâmetro

Em \(C=5+2q\), 5 e 2 são constantes neste modelo. Se diferentes cidades cobram tarifas iniciais \(t\), podemos escrever \(C=t+2q\). Durante uma situação específica, \(t\) pode ser fixado; entre situações, pode variar. Nesse papel, funciona como parâmetro.

A mesma letra precisa ser coerente

Dentro de um problema, a mesma letra representa a mesma quantidade, salvo redefinição explícita. Letras diferentes podem coincidir numericamente sem serem a mesma grandeza.

\(2m+3m=5m\) porque os termos representam a mesma unidade algébrica. Já \(2m+3s\) não pode virar \(5ms\): metros e segundos não são termos semelhantes.

Substituir é avaliar

Para \(E=3n+2\) e \(n=4\):

\(E=3\times4+2=14\)

Parênteses evitam ambiguidades ao substituir valores negativos: em \(x^2\) com \(x=-3\), escrevemos \((-3)^2=9\).

Letras não são sempre multiplicadas

\(ab\) significa \(a\times b\), mas \(x+y\) é soma. Uma expressão como km pode ser produto algébrico ou símbolo de quilômetro conforme o contexto. Notação é linguagem e precisa ser lida, não apenas reconhecida visualmente.

Uma história gradual da notação

Problemas algébricos foram resolvidos retoricamente, com palavras, e por abreviações em diversas tradições. A notação simbólica atual se desenvolveu ao longo de séculos. Diofanto usou formas históricas de abreviação; estudiosos islâmicos como Al-Khwarizmi sistematizaram métodos ainda expressos em palavras; autores posteriores consolidaram convenções. Não houve uma troca instantânea inventada por uma pessoa.

Lista de exercícios

1. Em \(P=12+4q\), identifique variável, constantes e significado possível.
2. Avalie \(3x^2-2\) para \(x=-2\).
3. Traduza: “o dobro de um número diminuído em cinco”.
4. Explique a diferença do papel de \(x\) em \(x+3=10\) e \(y=2x+1\).
5. Por que \(4a+3a=7a\), mas \(4a+3b\) não vira \(7ab\)?
6. Defina variáveis e escreva uma regra para perímetro de um retângulo.

Gabarito comentado

1. \(q\) varia; 12 e 4 são constantes. Pode representar tarifa fixa de 12 mais 4 por unidade.
2. \(3(-2)^2-2=12-2=10\).
3. \(2x-5\); deve-se declarar que \(x\) representa o número.
4. Na primeira é incógnita com solução 7; na segunda pode variar e determina valores de \(y\).
5. Termos com a mesma parte literal representam unidades semelhantes e podem ser reunidos; \(a\) e \(b\) podem representar grandezas distintas.
6. Se lados são \(c\) e \(l\), \(P=2c+2l\).