Quais números resistem à decomposição?

Doze pode ser \(3\times4\) ou \(2\times6\). Já 7 não pode ser escrito como produto de inteiros positivos menores que ele, exceto \(1\times7\).

Um número primo é um inteiro maior que 1 com exatamente dois divisores positivos: 1 e ele próprio.

Por que 1 não é primo?

Um primo precisa ter dois divisores distintos. O 1 possui apenas um. Mais profundamente, se 1 fosse primo, a fatoração perderia unicidade: \(6=2\times3=1\times2\times3=1^5\times2\times3\).

Excluir 1 mantém uma decomposição única sem fatores inúteis.

Composto não significa par

9 é composto porque \(9=3\times3\), embora seja ímpar. 2 é o único primo par; qualquer outro par possui 2 como divisor além de 1 e dele próprio.

Como testar um candidato

Para verificar se 97 é primo, basta procurar divisores primos até \(\sqrt{97}\), menor que 10: 2, 3, 5 e 7. Nenhum divide 97, portanto ele é primo.

Se um número composto tivesse ambos os fatores maiores que sua raiz, o produto seria maior que o próprio número.

Crivo de Eratóstenes

Liste números a partir de 2. Circule 2 e risque seus múltiplos; circule o próximo não riscado, 3, e risque seus múltiplos; continue. Os sobreviventes são primos no intervalo.

O método é atribuído na tradição a Eratóstenes, mas nossas descrições vêm de transmissões posteriores; “atribuição” não equivale a manuscrito autógrafo preservado.

Existem infinitos primos

Euclides apresentou um argumento: suponha uma lista finita de primos e multiplique todos, somando 1. O novo número deixa resto 1 ao ser dividido por cada primo listado. Ele próprio é primo ou possui um fator primo ausente. Logo nenhuma lista finita contém todos.

Primos e tecnologia

Sistemas criptográficos modernos usam propriedades de números primos e problemas de fatoração, junto com teoria dos números, algoritmos e engenharia. Dizer que “primos criaram a internet segura” seria exagero; eles são uma base matemática dentro de uma cadeia maior.

Lista de exercícios

1. Classifique 1, 2, 9, 17 e 21 como primo, composto ou nenhum.
2. Por que 2 é o único primo par?
3. Teste se 91 é primo.
4. Use o crivo para listar primos até 30.
5. Explique por que basta testar divisores até a raiz.
6. Resuma o argumento de infinitude dos primos.

Gabarito comentado

1. Nenhum; primo; composto; primo; composto.
2. Todo par maior que 2 possui 1, 2 e ele próprio como divisores.
3. Não: \(91=7\times13\).
4. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29.
5. Num produto, se um fator supera a raiz, o outro precisa ser menor que ela.
6. Produto de qualquer lista de primos mais 1 não é divisível pelos listados, exigindo outro fator primo.