É possível decidir sem dividir até o fim?

Sim, quando a base decimal cria restos previsíveis. Os critérios de divisibilidade são consequências do valor posicional, não simpatias com algarismos.

Por 2, 5 e 10

Todo número decimal é dezenas mais a unidade: \(10q+u\). A parte \(10q\) é divisível por 2, 5 e 10. Portanto, basta examinar u.

• por 2: último algarismo par;
• por 5: termina em 0 ou 5;
• por 10: termina em 0.

Por 4 e 8

Como 100 é divisível por 4, todas as centenas completas desaparecem no resto; bastam os dois últimos algarismos. 2 316 é divisível por 4 porque 16 é.

Como 1 000 é divisível por 8, bastam os três últimos algarismos.

Por 3 e 9

Como \(10=9+1\), cada potência de dez deixa resto 1 ao ser dividida por 9. Assim:

\(4\,572=4\times1000+5\times100+7\times10+2\)

tem o mesmo resto por 9 que \(4+5+7+2=18\). Logo é divisível por 9 — e também por 3.

Por 11

Como 10 deixa resto −1 na divisão por 11, as potências alternam sinais. Em 2 541, calculamos \(1-4+5-2=0\); portanto 2 541 é divisível por 11.

Combinar critérios

Ser divisível por 6 exige divisibilidade por 2 e por 3, porque 2 e 3 são coprimos. Para 12, exigir apenas 3 e 4 também funciona por serem coprimos; “por 2 e por 6” não garante 12.

Critério não substitui justificativa

Testes ajudam a encontrar fatores e verificar contas. Aplicá-los sem conhecer condições pode produzir regras falsas, especialmente ao combinar divisores que compartilham fatores.

Lista de exercícios

1. Determine quais de 2, 3, 4, 5, 9 e 10 dividem 3 780.
2. Explique por que 7 316 é divisível por 4.
3. Use soma de algarismos para testar 48 726 por 9.
4. Teste 5 621 por 11 usando soma alternada.
5. Um número é divisível por 2 e por 3. O que podemos concluir?
6. Ser divisível por 4 e 6 garante divisibilidade por 24? Dê exemplo.

Gabarito comentado

1. Todos: é par; soma 18; últimos dois 80; termina 0; soma múltipla de 9.
2. As centenas completas são múltiplas de 4 e os dois últimos algarismos, 16, também.
3. Soma 27; portanto é divisível por 9.
4. \(1-2+6-5=0\); divisível por 11.
5. É divisível por 6.
6. Não. 12 é divisível por 4 e 6, mas não por 24; os fatores compartilhados exigem cuidado.