Trinta cadeiras, quais fileiras são possíveis?

Podemos organizar 30 cadeiras em 5 fileiras de 6, 6 fileiras de 5, 3 de 10 ou 2 de 15, sem sobras.

\(30=5\times6\)

Por isso 30 é múltiplo de 5 e de 6; ao mesmo tempo, 5 e 6 são divisores de 30. Não são ideias desconectadas: descrevem a mesma igualdade por lados diferentes.

Múltiplos crescem em passos regulares

Os múltiplos não negativos de 4 são 0, 4, 8, 12, 16... Cada termo tem forma \(4k\) para um inteiro não negativo \(k\).

Zero é múltiplo de todo inteiro, pois \(a\times0=0\). Já zero não é divisor de nenhum número na divisão usual, porque dividir por zero não é definido.

Divisores aparecem em pares

Para 24: \(1\times24\), \(2\times12\), \(3\times8\), \(4\times6\). Logo seus divisores positivos são 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Procurar pares até a raiz quadrada basta: depois dela, repetiríamos os mesmos pares invertidos.

“Divide” é uma relação exata

Escrevemos \(d\mid n\) quando d divide n sem resto. \(4\mid20\), mas \(4\nmid22\).

Ter uma divisão decimal possível não basta: 4,4 pode ser quociente de 22÷5, mas 5 não é divisor inteiro de 22 porque o resto na divisão inteira não é zero.

Múltiplos em ciclos

Um sinal pisca a cada 4 s e outro a cada 6 s. Eles coincidem em 12, 24, 36... O primeiro reencontro é o mínimo múltiplo comum.

Divisores em agrupamentos

Para formar equipes iguais sem sobras, o tamanho de cada equipe deve dividir o total. Se há 36 pessoas, equipes de 4, 6 ou 9 são possíveis; de 5, não.

Propriedades úteis

Se \(a\mid b\) e \(a\mid c\), então a divide \(b+c\) e \(b-c\). Se 3 divide 12 e 18, divide 30 e 6. A distributiva explica: \(b=3m\), \(c=3n\), então \(b+c=3(m+n)\).

Lista de exercícios

1. Liste os seis primeiros múltiplos não negativos de 7.
2. Encontre todos os divisores positivos de 36.
3. Complete: se \(48=6\times8\), então 48 é ___ de 6 e 6 é ___ de 48.
4. Um evento ocorre a cada 8 dias e outro a cada 12. Após quantos dias coincidem primeiro?
5. É possível dividir 42 pessoas em equipes iguais de 5 sem sobra? E de 7?
6. Explique por que zero é múltiplo de 9, mas não divisor de 9.

Gabarito comentado

1. 0, 7, 14, 21, 28 e 35.
2. 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36.
3. Múltiplo; divisor.
4. 24 dias, primeiro múltiplo comum positivo.
5. De 5 não; de 7 sim, formando 6 equipes.
6. \(9\times0=0\); mas \(9\div0\) não é definido.