Cento e oitenta por caminhos diferentes

Podemos começar \(180=18\times10\) ou \(180=12\times15\). Continuando até fatores primos, ambos os caminhos chegam a:

\(180=2^2\times3^2\times5\)

A ordem pode mudar; os fatores primos e suas quantidades não.

Árvore de fatores

Quebre um número composto em dois fatores. Continue quebrando cada composto até restarem apenas primos. Uma divisão sucessiva por primos produz a mesma decomposição.

O procedimento deve terminar porque os fatores positivos ficam menores a cada decomposição não trivial.

Existência e unicidade

O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que todo inteiro maior que 1 pode ser escrito como produto de primos e que essa escrita é única salvo a ordem.

Existência diz que sempre conseguimos decompor. Unicidade diz que não chegaremos a dois conjuntos primos incompatíveis.

Encontrar divisores

Se \(72=2^3\times3^2\), qualquer divisor positivo escolhe de zero a três fatores 2 e de zero a dois fatores 3. Há \((3+1)(2+1)=12\) divisores.

Por exemplo, \(2^2\times3=12\) é divisor; 5 não pode aparecer porque não pertence à fatoração.

Simplificar frações

\(\frac{84}{126}=\frac{2^2\times3\times7}{2\times3^2\times7}=\frac23\)

Cancelamos fatores comuns, não algarismos ou termos de uma soma.

Preparação para MDC e MMC

No máximo divisor comum, escolhemos fatores presentes em todos com menores expoentes. No mínimo múltiplo comum, reunimos todos com maiores expoentes.

Para 12=\(2^2\times3\) e 18=\(2\times3^2\): MDC=6 e MMC=36.

Números negativos e casos especiais

Para fatorar −60, separamos o sinal: \(-1\times2^2\times3\times5\). Zero não possui fatoração prima; 1 corresponde ao produto vazio e não é primo.

Lista de exercícios

1. Fatore 84 e 360 em primos.
2. Construa duas árvores diferentes para 60 e compare o resultado.
3. Quantos divisores positivos possui \(2^4\times3^2\)?
4. Simplifique \(90/150\) pela fatoração.
5. Calcule MDC e MMC de 24 e 36 pelos expoentes.
6. Por que zero não possui fatoração prima?

Gabarito comentado

1. \(84=2^2\times3\times7\); \(360=2^3\times3^2\times5\).
2. Ambas chegam a \(2^2\times3\times5\), salvo ordem.
3. \((4+1)(2+1)=15\) divisores.
4. \(90/150=(2\times3^2\times5)/(2\times3\times5^2)=3/5\).
5. \(24=2^3\times3\), \(36=2^2\times3^2\); MDC=12, MMC=72.
6. Zero é divisível por todo inteiro não nulo e não admite um produto finito único de primos.