Metade cortada outra vez

Pegue metade de uma barra. Se cada uma das duas metades for novamente dividida ao meio, a barra terá quatro quartos. A porção que estava selecionada agora ocupa dois deles.

\(\frac12=\frac24\)

A aparência da divisão mudou; a quantidade e a posição na reta permaneceram.

Multiplicar por uma forma de um

Multiplicar numerador e denominador pelo mesmo número não nulo preserva o valor porque multiplicamos a fração por 1:

\(\frac12\times\frac22=\frac24\)

Como \(2/2=1\), o número não foi alterado. Apenas escolhemos unidades fracionárias menores.

Em geral:

\(\frac ab=\frac{ak}{bk},\quad k\ne0\)

A reta confirma

\(1/2\), \(2/4\), \(3/6\) e \(50/100\) chegam ao mesmo ponto. Frações equivalentes não são números “quase iguais”; são escritas diferentes para exatamente o mesmo número.

Simplificar é o caminho inverso

Em \(18/24\), numerador e denominador têm fator comum 6:

\(\frac{18}{24}=\frac{18\div6}{24\div6}=\frac34\)

Simplificar não torna a fração menor. Torna a escrita mais simples, preservando o valor.

Uma fração está na forma irredutível quando numerador e denominador não possuem fator comum positivo maior que 1.

Denominador comum com propósito

Para somar \(1/2+1/3\), precisamos contar partes do mesmo tamanho. Sextos servem para ambos:

\(\frac12=\frac36,\qquad \frac13=\frac26\)

Agora contamos: \(3/6+2/6=5/6\). O denominador comum não é burocracia; ele cria uma unidade fracionária comum.

Comparar produtos cruzados

Para denominadores positivos, \(a/b=c/d\) equivale a \(ad=bc\). Isso decorre de multiplicar ambos os lados por \(bd\), não de um desenho em X com poderes próprios.

Por exemplo, \(6/8=9/12\) porque \(6\times12=72\) e \(8\times9=72\).

Escalas e razões

Uma receita com 2 copos de água para 3 de farinha preserva a proporção se dobrarmos ambos: 4 para 6. A equivalência de frações reaparece como equivalência de razões.

Erros comuns

Somar o mesmo número: \(1/2\) não é igual a \(2/3\). Para preservar a razão, multiplicamos ou dividimos ambos pelo mesmo fator.

Simplificar atravessando uma soma: em \((2+4)/2\), não podemos cancelar o 2 apenas com o primeiro termo. Primeiro calculamos ou fatoramos o numerador inteiro.

Achar que simplificar altera a quantidade: \(50/100\) e \(1/2\) ocupam o mesmo ponto.

Lista de exercícios

1. Produza três frações equivalentes a \(3/5\).
2. Simplifique \(42/56\) justificando o fator usado.
3. Complete \(7/9=\square/45\).
4. Some \(2/3+1/4\) construindo denominador comum.
5. Verifique por produtos cruzados se \(14/21\) e \(10/15\) são equivalentes.
6. Explique o erro em \(3/5=4/6\).

Gabarito comentado

1. Exemplos: \(6/10\), \(9/15\), \(12/20\).
2. Dividindo ambos por 14: \(42/56=3/4\).
3. 35, pois o denominador foi multiplicado por 5 e o numerador também deve ser.
4. \(2/3=8/12\) e \(1/4=3/12\); soma \(11/12\).
5. Sim: \(14\times15=210\) e \(21\times10=210\).
6. Foram somados 1 ao numerador e ao denominador, o que não preserva a razão: \(3/5=0,6\), enquanto \(4/6\approx0,667\).