Onde está três quartos?

Desenhar uma pizza ajuda a começar, mas um número precisa existir mesmo quando não há comida. Na reta, \(3/4\) ocupa uma posição única entre 0 e 1.

Dividimos o intervalo unitário em quatro segmentos iguais e contamos três deles. A posição alcançada é o número \(3/4\).

Uma escrita, um quociente

A barra de fração também significa divisão:

\(\frac34=3\div4=0,75\)

Podemos verificar multiplicando: se \(3/4\) é o resultado de dividir 3 em quatro partes iguais, então quatro parcelas de \(3/4\) recompõem 3.

\(4\times\frac34=3\)

Numerador e denominador têm papéis diferentes

Em \(a/b\), com \(b\ne0\):

• \(b\) define o tamanho \(1/b\) da unidade fracionária;
• \(a\) conta quantas dessas unidades tomamos.

O denominador não pode ser zero porque não existe uma partilha em zero grupos nem um número que resolva, em geral, \(0\times ?=a\).

A unidade fracionária

Pensar em \(5/7\) como “cinco cópias de \(1/7\)” permite operar com significado:

\(\frac57=\frac17+\frac17+\frac17+\frac17+\frac17\)

Ao somar \(2/7+3/7\), contamos unidades do mesmo tamanho e obtemos \(5/7\). Não somamos denominadores porque o tamanho das partes não mudou.

Fração, decimal e porcentagem

\(3/4\), \(0,75\) e \(75\%\) são representações do mesmo número. A fração destaca uma divisão; o decimal usa o sistema posicional; a porcentagem compara com cem.

Converter é mudar a representação, não a quantidade. Dividindo 3 por 4 obtemos 0,75. Construindo centésimos, \(3/4=75/100=75\%\).

Frações negativas

\(-3/4\), \(3/(-4)\) e \(-(3/4)\) representam o mesmo número negativo. Na reta ele fica três quartos de unidade à esquerda do zero.

Já \((-3)/(-4)=3/4\), pois o quociente de dois números negativos é positivo.

Nem toda fração termina em decimal

\(1/8=0,125\) termina. \(1/3=0,333...\) repete indefinidamente. Isso não torna \(1/3\) menos exato; a fração é uma representação finita exata de um decimal periódico.

Os números que podem ser escritos como razão de inteiros, com denominador não nulo, são chamados racionais.

Densidade: sempre há espaço para outra

Entre \(1/2\) e \(3/4\) existe, por exemplo, a média \(5/8\). Entre \(1/2\) e \(5/8\) existe outra fração. Na reta racional não há “próxima fração” depois de uma fração dada.

Erros comuns

Tratar a barra como separador visual: ela é uma operação de divisão.

Achar que \(4/3\) não é número: ele ocupa uma posição entre 1 e 2.

Supor que decimal longo é menos exato: \(0,333...\) representa exatamente \(1/3\) quando a repetição é infinita.

Lista de exercícios

1. Localize aproximadamente \(5/4\), \(-1/2\) e \(7/3\) na reta.
2. Escreva \(6/5\) como soma de unidades de \(1/5\) e como número misto.
3. Converta \(3/8\) em decimal e porcentagem.
4. Explique por que \(2/7+3/7=5/7\), e não \(5/14\).
5. Encontre uma fração entre \(2/5\) e \(3/5\).
6. Classifique como verdadeira ou falsa: “toda fração possui decimal finito”.

Gabarito comentado

1. \(5/4=1,25\); \(-1/2=-0,5\); \(7/3=2\frac13\).
2. Seis parcelas de \(1/5\); \(6/5=1\frac15\).
3. \(3\div8=0,375=37,5\%\).
4. Ambas contam partes de tamanho \(1/7\); apenas a quantidade dessas partes é somada.
5. Uma possibilidade é \(1/2\), pois \(2/5=0,4<0,5<0,6=3/5\).
6. Falsa. \(1/3\), por exemplo, possui decimal periódico infinito.