Quem comeu mais?

Ana comeu \(3/4\) de uma pizza; Bruno comeu \(5/8\) de outra pizza do mesmo tamanho. O 5 é maior que o 3, mas os oitavos são menores que os quartos. Precisamos considerar simultaneamente o tamanho e a quantidade das partes.

Primeiro: a unidade é a mesma?

Metade de uma pizza familiar pode ser maior que três quartos de uma pizza individual. Comparar frações como quantidades físicas exige unidades de referência equivalentes.

Quando tratamos apenas dos números \(1/2\) e \(3/4\), a unidade abstrata é a mesma.

Denominadores iguais

Em \(3/7\) e \(5/7\), as partes têm o mesmo tamanho. Cinco sétimos contêm mais unidades de \(1/7\):

\(\frac37<\frac57\)

Numeradores iguais

Em \(3/4\) e \(3/8\), contamos três partes em ambos. Quartos são maiores que oitavos:

\(\frac34>\frac38\)

Essa regra é direta para frações positivas com a mesma unidade.

Use referências conhecidas

\(7/8\) está perto de 1; \(3/8\) está abaixo de \(1/2\). Sem calcular decimal algum, sabemos que \(7/8>3/8\).

Para comparar \(5/9\) e \(4/7\), observe que ambas superam \(1/2\), então a referência não decide. Precisamos de outra estratégia.

Crie uma unidade comum

Para \(3/4\) e \(5/8\), transformamos quartos em oitavos:

\(\frac34=\frac68\)

Agora \(6/8>5/8\), portanto Ana comeu mais.

O mínimo múltiplo comum pode produzir números menores, mas qualquer denominador comum correto preserva a comparação.

Produtos cruzados explicados

Com denominadores positivos, comparar \(a/b\) e \(c/d\) equivale a compará-las no denominador comum \(bd\):

\(\frac ab=\frac{ad}{bd},\qquad\frac cd=\frac{bc}{bd}\)

Por isso comparamos \(ad\) e \(bc\). Para \(5/9\) e \(4/7\): \(5\times7=35\) e \(4\times9=36\), então \(5/9<4/7\).

O método funciona porque constrói equivalência; o “X” é só um lembrete visual.

Decimais e reta

Também podemos dividir: \(3/5=0,6\) e \(7/10=0,7\). Na reta, 0,7 fica à direita.

Decimais são úteis, mas arredondar cedo pode esconder diferenças. \(1/3\) e \(0,33\) não são exatamente iguais se o segundo decimal termina.

Frações negativas

Entre números negativos, estar mais longe à esquerda significa ser menor: \(-3/4<-1/2\). Podemos converter para −0,75 e −0,5 ou usar a reta.

Erros comuns

Comparar só numeradores ou só denominadores quando ambos mudam; inverter a conclusão com negativos; comparar partes de unidades físicas diferentes; arredondar até duas frações parecerem iguais.

Lista de exercícios

1. Compare \(4/9\) e \(7/9\).
2. Compare \(5/6\) e \(5/8\) explicando o tamanho das partes.
3. Compare \(7/12\) e \(3/5\) por denominador comum.
4. Compare \(8/15\) e \(5/9\) por produtos cruzados e explique o método.
5. Ordene \(-3/4\), \(1/2\), \(-1/3\) e \(2/3\).
6. Júlia tomou metade de um copo de 400 ml; Rui tomou três quartos de um copo de 200 ml. Quem tomou mais?

Gabarito comentado

1. \(4/9<7/9\): mesmas partes, menor quantidade delas.
2. \(5/6>5/8\): com o mesmo numerador, sextos são maiores que oitavos.
3. \(7/12=35/60\) e \(3/5=36/60\); portanto \(7/12<3/5\).
4. \(8\times9=72\) e \(5\times15=75\); logo \(8/15<5/9\). Os produtos são numeradores equivalentes num denominador comum.
5. \(-3/4<-1/3<1/2<2/3\).
6. Júlia: 200 ml. Rui: 150 ml. Júlia tomou mais; as unidades inteiras eram diferentes, por isso comparar apenas \(1/2\) e \(3/4\) seria insuficiente.