A vírgula não separa dois números

Em 2,35, não temos o número 2 ao lado do 35. Temos duas unidades, três décimos e cinco centésimos:

\(2,35=2+\frac3{10}+\frac5{100}\)

O sistema decimal continua à direita da vírgula. Cada posição vale dez vezes a posição seguinte e um décimo da posição anterior.

Décimos, centésimos e milésimos

Dividir uma unidade em dez partes cria décimos. Dividir cada décimo em dez cria centésimos. Assim, \(0,1=10/100\) e \(0,10=10/100\): acrescentar zeros à direita não muda o valor.

Já \(0,1\ne0,01\). Um décimo equivale a dez centésimos.

Converter fração em decimal

A barra significa divisão. Portanto:

\(\frac38=3\div8=0,375\)

Também podemos criar denominador 1 000: \(3/8=375/1000\).

Algumas frações possuem decimal finito, como \(7/20=0,35\). Outras repetem indefinidamente: \(1/3=0,333...\). O símbolo ... é essencial; \(0,33\) é apenas uma aproximação.

Por que algumas terminam?

Uma fração irredutível possui decimal finito quando seu denominador é formado apenas pelos fatores 2 e 5, pois alguma potência de dez poderá ser múltipla dele. Como \(8=2^3\), oitavos viram milésimos. Já o denominador 3 nunca divide exatamente uma potência de dez.

Comparar decimais

Compare \(0,8\) e \(0,75\). Escrever \(0,8=0,80\) revela 80 centésimos contra 75. Mais casas não significam número maior: \(0,125<0,9\).

Operar preservando posições

Na soma, alinhamos vírgulas para reunir unidades da mesma ordem:

\(3,70+0,48=4,18\)

Multiplicar por dez torna cada algarismo dez vezes mais valioso: \(2,47\times10=24,7\). A vírgula não “anda”; os algarismos mudam de ordem em relação à unidade.

Decimais no mundo

Dinheiro usa centésimos da unidade monetária; instrumentos usam subdivisões; ciência comunica medidas e incertezas. 2,0 m pode informar uma precisão diferente de 2,000 m, embora representem o mesmo valor matemático.

Erros comuns

Alinhar números pela borda, cortar decimais periódicos como se fossem exatos e comparar apenas a quantidade de casas. Em divisão, também é preciso distinguir vírgula decimal de separadores de milhar usados em outras convenções.

Lista de exercícios

1. Decomponha 4,072 por valor posicional.
2. Converta \(7/8\) e \(2/3\) em decimais, indicando qual termina.
3. Ordene 0,5; 0,05; 0,505 e 0,55.
4. Calcule \(6,4+0,075\).
5. Explique por que \(0,4=0,40\), mas \(0,4\ne0,04\).
6. A fração \(7/40\) terá decimal finito? Justifique pelos fatores.

Gabarito comentado

1. \(4+0/10+7/100+2/1000\).
2. \(7/8=0,875\); \(2/3=0,666...\), periódico.
3. \(0,05<0,5<0,505<0,55\).
4. \(6,400+0,075=6,475\).
5. Quatro décimos são quarenta centésimos; quatro centésimos são dez vezes menores.
6. Sim. \(40=2^3\times5\), apenas fatores 2 e 5; \(7/40=0,175\).