Mesma distância, lados diferentes

Os números 6 e −6 ficam à mesma distância do zero em lados opostos. São opostos:

\(6+(-6)=0\)

O oposto aditivo de \(a\) é \(-a\), o número que o cancela numa soma.

O oposto do negativo

\(-(-5)=5\). O primeiro sinal pede o oposto do número dentro dos parênteses. Como −5 está à esquerda, seu oposto está à direita.

Isso é diferente de uma regra geral “dois menos dão mais”: em \(-5-2\), não há dois sinais operando sobre o mesmo número e o resultado é −7.

Valor absoluto mede distância

\(|6|=6\qquad|-6|=6\)

\(|x|\) é a distância de \(x\) ao zero. Por isso nunca é negativo.

Mas “tirar o sinal” é uma descrição insuficiente: se \(x\) já é positivo, nada muda; se uma expressão aparece dentro das barras, precisamos primeiro saber sua posição. \(|3-8|=|-5|=5\).

Equações com valor absoluto

\(|x|=4\) pergunta quais pontos estão a quatro unidades do zero: \(x=4\) ou \(x=-4\).

\(|x-3|=5\) pergunta quais pontos estão a cinco unidades de 3: \(x=8\) ou \(x=-2\).

Distância entre dois números

\(d(a,b)=|a-b|\)

Entre −7 e 2, \(|-7-2|=9\). Inverter a subtração produz \(|2-(-7)|=9\); o valor absoluto elimina a direção e preserva a distância.

Oposto não é recíproco

O oposto de 4 é −4, pois a soma dá zero. O inverso multiplicativo de 4 é \(1/4\), pois o produto dá um.

Zero possui oposto — ele mesmo — mas não possui inverso multiplicativo, porque nenhum número multiplicado por zero produz 1.

Aplicações

Erro absoluto mede tamanho de uma diferença; tolerâncias descrevem faixas como \(|x-10|\le0,2\); distâncias em coordenadas começam por diferenças absolutas. Em finanças, magnitude e sinal distinguem tamanho e direção de uma variação.

Lista de exercícios

1. Dê oposto e valor absoluto de −12 e 7.
2. Calcule \(|-4-6|\).
3. Resolva \(|x|=9\).
4. Resolva \(|x-2|=6\) pela reta.
5. Diferencie oposto e inverso multiplicativo de −5.
6. Escreva como valor absoluto: valores a no máximo 0,3 de distância de 4.

Gabarito comentado

1. De −12: oposto 12, valor absoluto 12. De 7: oposto −7, valor absoluto 7.
2. \(|-10|=10\).
3. \(x=-9\) ou \(x=9\).
4. \(x=8\) ou \(x=-4\).
5. Oposto 5, pois soma zero; inverso \(-1/5\), pois produto um.
6. \(|x-4|\le0,3\).