Alguns problemas não pedem uma medida isolada. Pedem encontrar todos os pontos que obedecem a uma relação entre distâncias. Quando o ponto se move, nasce uma curva inteira — e uma equação pode guardar essa condição.
Numa forma do problema, distâncias de um ponto a várias retas precisam manter uma relação entre produtos. O enunciado parece inteiramente geométrico.
Descartes escolhe segmentos desconhecidos, expressa outras grandezas em função deles e transforma a condição numa equação. A curva passa a ser investigada pelas relações que seus pontos satisfazem.
O problema já era antigo. Sua relevância em A Geometria está no modo como impulsiona um programa geral de tradução entre construção e cálculo.
RELEVÂNCIA HISTÓRICAA resposta cartesiana ao problema tornou-se um episódio central da aproximação entre álgebra e geometria no século XVII.