Imagine receber apenas régua e compasso — e ter de justificar cada movimento. O Livro I começa com definições, cinco postulados e noções comuns. A partir deles constrói uma cadeia de 48 proposições: cada resultado se torna ferramenta para o próximo.
A primeira proposição pede construir um triângulo equilátero sobre um segmento. O resultado é simples; revolucionária é a disciplina de dizer o que foi permitido e por que a construção funciona.
Ao final, a Proposição 47 reúne relações de área para demonstrar que, em um triângulo retângulo, o quadrado do lado oposto ao ângulo reto equivale aos quadrados dos outros dois lados.
RELEVÂNCIA HISTÓRICAEste livro tornou-se um modelo duradouro de exposição dedutiva. Também revela limites: leitores modernos identificam pressupostos não explicitados, lembrando que rigor é uma prática histórica que pode ser aperfeiçoada.