Dobrar a receita

Uma receita usa 3 copos de farinha para 2 de leite. Para dobrar todas as porções sem mudar a mistura, usamos 6 e 4:

\(\frac32=\frac64\)

Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Ela afirma que a relação foi preservada.

Fator de escala

De 3 para 6 multiplicamos por 2. Aplicar o mesmo fator ao 2 produz 4. Pensar no fator costuma ser mais compreensível que montar produtos cruzados.

Se 5 cadernos custam 40 reais a preço unitário constante, um caderno custa 8 e 7 custam 56. A taxa unitária é outra ponte para resolver proporções.

Tabela de valores

Numa relação proporcional entre quantidade \(q\) e custo \(C\):

q	C
1	8
3	24
7	56

A razão \(C/q=8\) permanece constante. A expressão geral é \(C=8q\) e o gráfico passa pela origem.

Por que o produto cruzado funciona?

Se \(a/b=c/d\), com denominadores não nulos, multiplicar ambos os lados por \(bd\) produz \(ad=bc\). Não é uma regra independente; é uma consequência da igualdade e das frações equivalentes.

Para \(3/5=x/20\), o fator de escala 4 dá \(x=12\). Pelo produto, \(3\times20=5x\), também chegando a 12.

Nem toda relação é proporcional

Um táxi cobra 6 reais de partida mais 3 por quilômetro. Dobrar a distância não dobra o preço total por causa da parcela fixa. A razão preço/distância não permanece constante e o gráfico não passa pela origem.

Dobrar o lado de um quadrado quadruplica a área. Área e lado não são diretamente proporcionais: \(A=l^2\).

Proporcionalidade inversa

Para uma distância fixa, aumentar a velocidade reduz o tempo. Se a velocidade dobra em um modelo ideal, o tempo cai pela metade. O produto velocidade×tempo permanece constante; isso é proporcionalidade inversa, não direta.

Escalas e semelhança

Em mapas e plantas, comprimentos correspondentes seguem uma escala. Dobrar comprimentos quadruplica áreas e multiplica volumes por oito. O fator precisa ser elevado conforme a dimensão.

Lista de exercícios

1. Complete \(4/7=x/35\) pelo fator de escala.
2. Se 6 kg custam 45 reais a preço constante, quanto custam 10 kg?
3. Decida se cada relação é proporcional: horas e salário sem valor fixo; idade e altura; lado e perímetro de quadrados; lado e área.
4. Resolva \(9/12=15/x\) e verifique os produtos.
5. Uma planta 1:50 mostra uma parede de 8 cm. Qual é o comprimento real em metros?
6. Três trabalhadores concluem uma tarefa ideal em 12 dias. Mantida a produtividade, em quantos dias seis trabalhadores concluem? Que tipo de proporção é essa?

Gabarito comentado

1. O denominador foi multiplicado por 5; \(x=20\).
2. Taxa unitária \(45/6=7,50\) reais/kg; dez quilogramas custam 75 reais.
3. Proporcional; não necessariamente; proporcional, pois \(P=4l\); não proporcional diretamente, pois \(A=l^2\).
4. \(9x=180\), logo \(x=20\). Verificação: \(9\times20=12\times15=180\).
5. \(8\times50=400\) cm=4 m.
6. 6 dias. É proporcionalidade inversa: dobrar trabalhadores reduz o tempo pela metade no modelo ideal.