Complete sem correr para a resposta

\(8+4=\square+5\)

Quem lê “=” como “agora calcule” pode escrever 12 na caixa. Mas isso criaria \(12=17\), uma afirmação falsa. O lado esquerdo vale 12; portanto a caixa precisa valer 7.

O sinal de igualdade significa tem o mesmo valor que.

A igualdade pode ser lida nos dois sentidos

Se \(8+4=12\), então \(12=8+4\). Também podemos escrever \(7+5=9+3\). Nenhum lado precisa ser uma resposta isolada.

Essa simetria é central na álgebra. Uma equação não é uma fila que termina; é uma comparação entre duas expressões.

A balança como modelo

Imagine dois pratos equilibrados. Retirar 3 apenas de um quebra o equilíbrio; retirar 3 de ambos o preserva.

Em \(x+3=10\), subtraímos 3 dos dois lados:

\(x+3-3=10-3\) \(x=7\)

Nada “passou para o outro lado trocando de sinal”. Fizemos a mesma transformação em ambos e simplificamos.

Propriedades da igualdade

• reflexiva: \(a=a\);
• simétrica: se \(a=b\), então \(b=a\);
• transitiva: se \(a=b\) e \(b=c\), então \(a=c\);
• substituição: coisas iguais podem substituir uma à outra preservando a verdade.

Esses nomes apenas organizam ideias intuitivas. Se uma distância mede 100 cm e 100 cm é 1 m, podemos substituir uma escrita pela outra.

Igualdade, aproximação e identidade

\(1/3=0,333...\) é igualdade exata quando os pontos indicam repetição infinita. Já \(1/3\approx0,33\) usa aproximação.

\(2(x+3)=2x+6\) é verdadeira para todo \(x\) e expressa uma identidade. \(2x+3=11\) é verdadeira apenas para valores específicos e funciona como equação.

Verificar é devolver o valor à pergunta

Se encontramos \(x=4\) para \(3x+2=14\), substituímos: \(3\times4+2=14\). A igualdade verdadeira confirma a solução.

Lista de exercícios

1. Complete \(15+8=\square+10\).
2. Decida se \(4+7=6+5\) é verdadeira e explique.
3. Resolva \(x+9=23\) aplicando a mesma operação aos dois lados.
4. Diferencie =, ≈ nos casos \(1/2\) e 0,5; \(\sqrt2\) e 1,41.
5. Classifique \(3(x+2)=3x+6\) e \(3x+2=11\).
6. Identifique o erro em \(x-4=9\), logo \(x=9-4\).

Gabarito comentado

1. 13, pois ambos os lados devem valer 23.
2. Sim; ambos valem 11.
3. \(x+9-9=23-9\), então \(x=14\).
4. \(1/2=0,5\) exatamente; \(\sqrt2\approx1,41\), pois o decimal foi interrompido.
5. A primeira é identidade; a segunda é equação com solução \(x=3\).
6. Para desfazer −4, somamos 4 aos dois lados: \(x=13\).