Casos da relação eram conhecidos antes da tradição pitagórica; a autoria de uma primeira demonstração não é conhecida.
Construa um quadrado sobre cada lado de um triângulo retângulo. A descoberta não é apenas uma fórmula: é a afirmação de que a área do maior quadrado equivale à soma das outras duas.
Para lados de comprimentos 3 e 4, as áreas dos quadrados são 9 e 16. Somadas, dão 25, a área do quadrado de lado 5. Assim, 3² + 4² = 5².
A Proposição I.47 dos Elementos oferece uma demonstração por áreas. A proposição seguinte apresenta a recíproca: se os quadrados dos lados obedecem à relação, o triângulo é retângulo.
A relação era conhecida em tradições anteriores à comunidade pitagórica, inclusive em registros babilônicos. Chamar o resultado de ‘teorema de Pitágoras’ é uma convenção histórica; não temos prova de que Pitágoras criou ou demonstrou pessoalmente o teorema.
RELEVÂNCIA HISTÓRICAA relação tornou-se fundamental para medir distâncias, construir coordenadas e desenvolver trigonometria, geometria analítica e noções modernas de distância em muitas dimensões.