Existem números que não podem ser escritos como razão de dois inteiros. √2 é o primeiro encontro clássico: nasce naturalmente da diagonal de um quadrado e exige ampliar o universo numérico.
Suponha √2=a/b em forma irredutível. Então a²=2b², logo a² é par e a também é par. Escreva a=2k: resulta b²=2k², então b também é par.
Isso contradiz a hipótese de a/b estar reduzida, pois ambos seriam divisíveis por 2. Portanto √2 é irracional.
A descoberta é frequentemente dramatizada como segredo revelado por Hípaso, mas os detalhes e a punição são tradições tardias e incertas.
RELEVÂNCIA HISTÓRICAA incomensurabilidade mostrou limites de uma aritmética baseada apenas em razões e impulsionou tratamentos geométricos rigorosos, como os Livros V e X dos Elementos.