Calcular (a+b)² é simples; mas e (a+b)¹⁰ ou uma potência não inteira? O binômio organiza a expansão por coeficientes que também aparecem no triângulo de Pascal e em problemas de contagem.
Para expoente inteiro não negativo, (a+b)ⁿ é uma soma de termos escolhidos pelos coeficientes binomiais: C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ.
Em (a+b)³, os coeficientes 1,3,3,1 contam quantas maneiras cada combinação aparece ao multiplicar três fatores.
Newton ampliou séries binomiais para certos expoentes fracionários e negativos. Ele não inventou os coeficientes: padrões equivalentes eram conhecidos em tradições indianas, islâmicas, chinesas e europeias anteriores.
RELEVÂNCIA HISTÓRICAA generalização de Newton integrou seu trabalho com séries infinitas e ajudou a ampliar técnicas de aproximação e cálculo. O nome tradicional não apaga uma história multicultural mais longa.