Tinta ou rodapé?

Para comprar rodapé, medimos o contorno. Para cobrir o chão, perguntamos quanta superfície existe dentro dele. Essa segunda grandeza é a área.

Uma unidade de área é um quadrado de lado unitário. Um retângulo de 5 m por 3 m comporta 5 colunas e 3 linhas de quadrados de 1 m²:

\(A=5×3=15\text{ m}^2\)

Multiplicar base por altura é uma contagem organizada, não uma senha de fórmula.

Por que a unidade fica ao quadrado?

Cada pequeno quadrado combina duas direções:

\(1\text{ m}×1\text{ m}=1\text{ m}^2\)

Se cada lado dobra, passam a caber duas vezes mais colunas e duas vezes mais linhas. A área quadruplica.

Paralelogramo: mover sem perder

Cortar um triângulo de uma extremidade de um paralelogramo e movê-lo para a outra forma um retângulo com a mesma base e altura. A superfície foi rearranjada:

\(A=bh\)

A altura é a distância perpendicular entre as bases, não necessariamente o lado inclinado.

Triângulo: metade de um paralelogramo

Duas cópias congruentes de um triângulo podem formar um paralelogramo. Portanto:

\(A=\frac{bh}{2}\)

O fator \(1/2\) tem significado geométrico: usamos metade da superfície construída com a mesma base e altura.

Decompor figuras

Uma planta em L pode ser dividida em retângulos sem sobreposição. Somamos suas áreas. Também podemos completar um retângulo maior e subtrair a parte ausente. Estratégias diferentes devem produzir o mesmo resultado.

Área do círculo

A fórmula \(A=πr^2\) pode ser intuída cortando o círculo em muitos setores e alternando-os. A figura se aproxima de um paralelogramo com altura \(r\) e base próxima de metade da circunferência, \(πr\).

História com evidências e limites

Medição de terras, agricultura, tributação e construção motivaram técnicas em muitas sociedades. Papiros egípcios preservam problemas de áreas; tabletes mesopotâmicos e textos chineses registram outros procedimentos. Isso não estabelece uma origem única da geometria nem significa que as fórmulas antigas fossem apresentadas como hoje.

Erros comuns

Somar lados para calcular superfície; usar lado inclinado como altura; esquecer de elevar a unidade; supor que mesma área implica mesma forma; subtrair áreas sobrepostas incorretamente.

Lista de exercícios

1. Calcule a área de um retângulo 7,5 m por 4 m.
2. Um paralelogramo tem base 9 cm e altura perpendicular 5 cm. Qual é a área?
3. Um triângulo tem base 12 m e altura 7 m. Calcule e explique o fator \(1/2\).
4. Um quadrado de lado 3 é ampliado para lado 9. Por qual fator a área cresceu?
5. Uma figura em L é um retângulo 8×6 sem um canto 3×2. Qual é a área?
6. Compare retângulos 2×12 e 4×6 quanto a área e perímetro.

Gabarito comentado

1. 30 m².
2. 45 cm²; o lado inclinado não substitui a altura.
3. \(12×7/2=42\) m²; duas cópias formam um paralelogramo de área 84.
4. O lado cresceu por 3; a área por \(3^2=9\).
5. \(8×6-3×2=42\) unidades quadradas.
6. Ambos têm área 24; perímetros 28 e 20. Mesma área não determina contorno.